Paralelismo y Perpendicularidad

PARALELISMO:
   Dos rectas son paralelas si sus vectores directores sonparalelos, es decir, si     éstos son linealmente dependientes.

     

    Dos rectas son paralelas si:

•  Sus vectores directores son iguales 
•  Sus pendientes son iguales
•  Los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales
•  Forman un ángulo de 0º

    EJEMPLO: Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por                                          el punto A(3,5).

     

PERPENDICULARIDAD:

   Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

      

   Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

   EJEMPLO: Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

 

Ecuación de la Recta

En una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

Forma simplificada de la ecuación de la recta: Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

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Ángulo de Inclinación y Pendiente de una Recta

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado.

Pendiente de una Recta:
La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (cartesiano), suele ser representado por la letra M, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

• En ecuación de la recta                   
  
  
• Dados los puntos:                          

VIDEO INCLINACION

VIDEO PENDIENTE

Lugar Geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

EJEMPLO: El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz.

EJEMPLO 2: La bisectríz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectríz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad.

Cálculo de Areas en el Plano Cartesiano

Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas:

, , , ... , 

Entonces el área de la región poligonal
correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

 

Llamada también formula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado. Donde:

Luego el valor de la determinante estará dada por :

y finalmente dividiendo entre 2 e tal modo que quede:

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División de un Segmento en una Razón Dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la rectaque contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

EJEMPLO: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y   B(5, 6) en tres partes iguales?

              

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Punto Medio de un Segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmentocoinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

     

EJEMPLO: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento A(3;9) y B(-1;5).

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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/vectores_rectas_plano_alm/index/puntomedio.htm

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje X o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas y cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje Y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.


Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

EJEMPLO: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

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http://www.educaplus.org/play-38-Distancia-entre-dos-puntos.html

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dónde estás exactamente en un mapa o gráfico.

Con las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico dando la distancia de lado y hacia arriba:

           El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.


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Par Ordenado

Son dos números escritos en un cierto orden. Usualmente están escritos entre paréntesis, así: (6,2) 

Pueden ser usados para mostrar la posición en un gráfico, donde el valor "x" (horizontal) es primero, y el valor "y" (vertical) es el segundo.

EJEMPLO: aquí el punto (4,3) está 4 unidades a lo largo, y 3 unidades arriba.

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